Question

(本小题满分12分）

已知点F( 1，0)，与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M与及y轴都相切. (I )求点M的轨迹C的方程；(II)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向各引一条切线，切点 分别为P，Q，记.求证是定值.

 

Answer 1

【答案】

(I ) ；(II) 当不与轴垂直时，直线的方程为，由得，设，

∴，

当与轴垂直时，也可得。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）⊙的半径为，⊙的方程为，

作⊥轴于，则，即，则（是过作直线的垂线的垂足），则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．

∴点的轨迹的方程为；                     …6分

（Ⅱ）当不与轴垂直时，直线的方程为，由得

，设，则

∴，

当与轴垂直时，也可得，

综上，有．                                           …12分

考点：轨迹方程的求法；抛物线的简单性质；直线方程的点斜式；直线与抛物线的综合应用。

点评：（1）在设直线方程的点斜式时，要注意讨论斜率是否存在；（2）做第二问的关键是：把的值用两根之和或两根之积表述出，从而达到应用韦达定理的目的。