题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0）的距离之和为2
，且其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F2．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F2．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．
（Ⅰ）依题意可知
又b2=a2-c2，解得
------------------（2分）
则椭圆方程为
+y2=1．---------------------（4分）
（Ⅱ）联立方程
消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0（6分）
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0
解得-
＜m＜
①--------------------（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，
又F2（1，0），∴
=(x1-1，y1)，
=(x2-1，y2)
若存在，则
•
=0，即：（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，∴x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0②
又y1=x1+m，y2=x2+m，∴y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2
代入②有2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0
∴2×
+(m-1)(-
)+m2+1=0，
解得m=-
或m=
------------------（11分）
检验都满足①，∴m=
------------------（12分）
|
又b2=a2-c2，解得
|
则椭圆方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）联立方程
|
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0
解得-
| 3 |
| 3 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -4m |
| 3 |
| 2m2-2 |
| 3 |
又F2（1，0），∴
| F2A |
| F2B |
若存在，则
| F2A |
| F2B |
又y1=x1+m，y2=x2+m，∴y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2
代入②有2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0
∴2×
| 2m2-2 |
| 3 |
| 4m |
| 3 |
解得m=-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
检验都满足①，∴m=
-2±
| ||
| 3 |
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