题目内容

圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．
解答：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：
4R+2H=L，
H= $\text{[math]}$ -2R，
V=SH=πR²H=πR²（ $\text{[math]}$ -2R）=πR² $\text{[math]}$ -2πR³
求导：
V'=πRL-6πR²令V'=0，
πRL-6πR²=0，
πR（L-6R）=0，
L-6R=0，
R= $\text{[math]}$ ，
当R= $\text{[math]}$ ，
圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：
V=πR² $\text{[math]}$ -2πR³= $\text{[math]}$
故选A．
点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．