Question

如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．

解答：解：设圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长l为定值，
则4R+2H=l，∴H=

l

2

-2R，
∴V=SH=πR²H=πR²（

l

2

-2R）=πR²

l

2

-2πR³，
求导：V'=πRl-6πR²，
令V'=0，可得πRl-6πR²=0，
∴πR（l-6R）=0，
∴l-6R=0，
∴R=

l

6

，
当R=

l

6

时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR²

l

2

-2πR³=

πl3

216

．
故答案为：

πl3

216

．

点评：本题考查最值问题，考查导数知识的运用，确定体积表达式是关键．