题目内容

如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪成矩形ABCD的形状，它的一边AB在圆O的直径上，另一边CD的端点在圆周上．求矩形ABCD面积的最大值和周长的最大值．

解：（1）如图，设OB=x，BC=y，∴x²+y²=1，
∴ $\text{[math]}$
当且仅当x=y= $\text{[math]}$ 时取等号，即此时，S_ABCD的最大值是1．
（2）（方法一）设矩形ABCD的周长为L，∴L=4x+2y
设 $\text{[math]}$ ，
∴y=sinθ，x=cosθ，∴L=4cosθ+2sinθ，L'=-4sinθ+2cosθ，令L'=0，得tan $\text{[math]}$ ，
而tan $\text{[math]}$ ，时，L'＞0；而tan $\text{[math]}$ ，时，L'＜0，∴tan $\text{[math]}$ ，L最大，
此时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
（2）（方法二）设矩形ABCD的周长为L，∴L=4x+2y
设 $\text{[math]}$ ，∴y=sinθ，x=cosθ，
∴L=4cosθ+2sinθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
其中， $\text{[math]}$ ，
∵φ，θ为锐角，
∴φ+θ= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
分析：（1）表示出面积，利用基本不等式可得结论；
（2）方法一，利用导数的方法求最值；方法二，利用三角函数的知识求最值．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式、导数知识的运用，属于中档题．