Question

如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪成矩形ABCD的形状，它的一边AB在圆O的直径上，另一边CD的端点在圆周上．求矩形ABCD面积的最大值和周长的最大值．

Answer 1

分析：（1）表示出面积，利用基本不等式可得结论；
（2）方法一，利用导数的方法求最值；方法二，利用三角函数的知识求最值．

解答：解：（1）如图，设OB=x，BC=y，∴x²+y²=1，-----------------------------------（1分）
∴SABCD=2xy≤x2+y2=1-------------------------------------------（4分）
当且仅当x=y=

2

2

时取等号，即此时，S_ABCD的最大值是1．-------------------（5分）
（2）（方法一） 设矩形ABCD的周长为L，∴L=4x+2y------------------（6分）
设∠BOC=θ，θ∈(0，

π

2

)，
∴y=sinθ，x=cosθ，∴L=4cosθ+2sinθ，L'=-4sinθ+2cosθ，令L'=0，得tanθ=

1

2

，-------（8分）
而tanθ＜

1

2

，时，L'＞0；而tanθ＞

1

2

，时，L'＜0，∴tanθ=

1

2

，L最大，-----（9分）
此时，

y

x

=tanθ=

1

2

，∴x=2y，又x2+y2=1，解得x=

2

5

，y=

1

5

故：L最大=

8

5

+

2

5

=2

5

--------------------------------------------（12分）
（2）（方法二）设矩形ABCD的周长为L，∴L=4x+2y-------------------------（6分）
设∠BOC=θ，θ∈(0，

π

2

)，∴y=sinθ，x=cosθ，
∴L=4cosθ+2sinθ=

20

(

2

5

cosθ+

1

5

sinθ)=2

5

sin(θ+?)--------------（8分）
其中，

cos?= 1 5 sin?= 2 5

，tan?=2，
∵φ，θ为锐角，
∴φ+θ=

π

2

时，L最大=2

5

----------------------------------------------（12分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式、导数知识的运用，属于中档题．