Question

如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪成矩形ABCD的形状，它的一边AB在圆O的直径上，另一边CD的端点在圆周上．求矩形ABCD面积的最大值和周长的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出面积，利用基本不等式可得结论；
（2）方法一，利用导数的方法求最值；方法二，利用三角函数的知识求最值．
解答：解：（1）如图，设OB=x，BC=y，∴x²+y²=1，-----------------------------------（1分）
∴-------------------------------------------（4分）
当且仅当x=y=时取等号，即此时，S_ABCD的最大值是1．-------------------（5分）
（2）（方法一） 设矩形ABCD的周长为L，∴L=4x+2y------------------（6分）
设，
∴y=sinθ，x=cosθ，∴L=4cosθ+2sinθ，L'=-4sinθ+2cosθ，令L'=0，得tan，-------（8分）
而tan，时，L'＞0；而tan，时，L'＜0，∴tan，L最大，-----（9分）
此时，，∴
--------------------------------------------（12分）
（2）（方法二）设矩形ABCD的周长为L，∴L=4x+2y-------------------------（6分）
设，∴y=sinθ，x=cosθ，
∴L=4cosθ+2sinθ==--------------（8分）
其中，，
∵φ，θ为锐角，
∴φ+θ=时，----------------------------------------------（12分）
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式、导数知识的运用，属于中档题．