Question

在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“?”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“?”表示．设f（x）=

x2-3x+8

2

  (x≥2) ，g(x)=ax (a＞1)．
（1）若?x₀∈[2，+∞）使f（x₀）=m成立，求实数m的取值范围．
（2）若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求得函数在[2，+∞）上为增函数，即可确定实数m的取值范围；
（2）确定分别函数f（x）、g（x）的值域，根据题意，可得a²＜3，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

(x-

3

2

)2+

23

8

，∴函数在[2，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f（2）=3，即实数m的取值范围是[3，+∞）；
（2）由（1）知，函数f（x）的值域是[3，+∞），又g（x）的值域是（a²，+∞）
∵?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
∴a²＜3
∵a＞1，
∴1＜a＜

3

．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生对新定义的理解，属于中档题．