Question

在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“?”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“?”表示．设f(x)=

x2-3x+3

2

(x＞2)，g(x)=ax(a＞1，x＞2)．
①若?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围为

 

；
②若?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；
②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．

解答：解：因为f（x）=

x2-3x+3

2

=

(x- 3 2 )2+ 3 4

2

，（2，+∞），f（x）＞f（2）=

1

2

；g（x）=a^x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a²．
①∵?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，
∴m＞

1

2

；
②∵?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
∴

a＞1 a2＜ 1 2

?a不存在．
故答案为：（

1

2

，+∞）：不存在．

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．