Question

如图，三棱柱ABC－ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC.

（Ⅰ）证明：AC⊥BA；
（Ⅱ）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

(1)要证明线线垂直，通过线面垂直的性质定理来证明。
(2) 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos

试题分析：（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OA，OB，BA，则
，             2分
.                    4分
∴AC⊥面BOA.                          5分
∵BA面BOA，∴AC⊥BA.              6分
（Ⅱ）解法一：∵面AACC⊥面ABC，AO⊥AC，
∴AO⊥面ABC.                          7分
过点O作OH⊥AB于H，连结AH，则AH⊥AB，
∴∠AHO为所求二面角的平面角.                  9分
在等边△ABC中，OH=，AH=.   ∴cos∠AHO==.       11分
∴侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos.                   12分
解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，                                              7分

则A（0，－2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），
C（0，4，2），设n=（x，y，z）是面AABB的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∵=（0，2，2）， =（2，2，0），                 8分
∴ 取x=1，得n=（1，－，）.            9分
易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1），                   10分
所以cos<m，n>==.                  11分
∴ 侧面AABB与底面ABC所成的二面角为arccos.                  12分
点评：主要是考查了关于垂直证明，以及二面角的平面角的求解，属于基础题。可以运用代数法也可以运用几何性质来求解和证明。