Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*).

(1)证明：{an}是等比数列；

(2)在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列.记插入的n个数的和为Tn，求Tn的最大值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

（1）由已知得，则当时， ，两式相减，即可证明数列为首项为，公比为的等比数列；

（2）由（1）得，求得，求得，即得，即可求得的最大值.

试题解析：

(1)证明　因为3an＋Sn＝4，所以Sn＝4－3an(n∈N*)，

所以，当n≥2时，有Sn－1＝4－3an－1，

上述两式相减，得an＝－3an＋3an－1，

即当n≥2时，＝.

又n＝1时，a1＝4－3a1，a1＝1.

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.

(2)解　由(1)得an＝a1·qn－1＝，

所以Tn＝＝＝，

因为Tn＋1－Tn＝－

＝，

所以T1<T2<T3，T3＝T4，T4>T5>T6>…，

所以Tn的最大值为T3＝T4＝.