Question

如图，F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点M在x轴上，且

OM

=

3

2

OF2

，过点F₂的直线与椭圆交与A，B两点，且AM⊥x轴，

AF1

•

AF2

=0
（1）求椭圆的离心率；（2）若△ABF₁的周长为4

6

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设出F₁（-c，0），F₂（c，0），A（x₀，y₀），利用椭圆的离心率为e，推断出|AF₁|=a+ex₀、|AF₂|=a-ex₀得

AF1

•

AF2

=0，进而利用a，b和c的关系求得a和c的关系及椭圆的离心率．
（2）根据题意，△ABF₂的周长为4

6

，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=4

6

，结合椭圆的定义，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．

解答：解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），A（x₀，y₀），椭圆的离心率为e，则M(

3

2

c，0)，x0=

3

2

c．
∵

|AF1|

x0+ a2 c

=e，∴|AF₁|=a+ex₀．…（2分）
同理|AF₂|=a-ex₀．…（3分）
∵

AF1

•

AF2

=0，∴AF₁⊥AF₂，∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
∴（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=4c²即a²+e²x₀²=2c²．
∵x0=

3

2

c，∴a2+e2•

3

4

c2=2c2，…（5分）
∴1+

3

4

e4=2e2，即3e4-8e2+4=0，…（7分）
∴e2=

2

3

或e2=2(舍去)…（9分）
所以椭圆的离心率e=

6

3

．…（10分）
（2）∵△ABF₂的周长为4

6

，∴4a=4

6

，a=

6

…（12分）
又∵

c

a

=

6

3

∴c=2，…．（13分）
∴b²=2．∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1…．（15分）

点评：本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题，注意利用题设中a，b和c的关系．