Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数比是10：1．
（1）求：含

1

x

的项的系数；   （2）求：展开式中所有项系数的绝对值之和．

Answer 1

(

x

-

2

x2

)n的展开式的通项为

C

rn

(-2)rx

n-r

2

x-2r，
∵第五项的系数为C_n⁴（-2）⁴，第三项的系数为C_n²（-2）²，
∴C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，化简得（n-2）（n-3）=30，解得：n=8，
∴展开式的通项为T_r+1=

C

r8

(-2)rx

8-5r

2

（1）令

8-5r

2

=-1，解得：r=2，∴展开式中含

1

x

的项的系数为：C₈²（-2）²=112
（2）∵(

x

-

2

x2

)8的展开式中所有项系数的绝对值之和，即为(

x

+

2

x2

)8的展开式中所有项的系数和．
∴在(

x

+

2

x2

)8中令x=1得3⁸，故(

x

-

2

x2

)8的展开式中所有项系数的绝对值之和为3⁸．