Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是10，求展开式中
（1）含x

3

2

的项；
（2）二项式系数最大的项；
（3）系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

分析：（1）由题意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n的值，可得通项公式  T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，
得r=1，即得含x

3

2

的项．
（2）二项式系数最大的项为 T₅ =C₈⁴ (

x

)4(

-2

x2

)4，运算求得结果．
（3）设第r+1项的系数绝对值最大，则有

C r-1 8 2r-1≤ C r 8 2r   C r 8 2r≥ C r+1 8 2 r+1

，解得 5≤r≤6，故系数最大的项T₇=1792x^-11，
系数最小的项为 T6=-1792x-

17

2

．

解答：解：（1）由题意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n=8．
通项公式为  T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，得r=1，∴T₂=-16x

3

2

．
（2）二项式系数最大的项为 T₅ =C₈⁴ (

x

)4(

-2

x2

)4=1120x^-6．
（3）设第r+1项的系数绝对值最大，则有

C r-1 8 2r-1≤ C r 8 2r   C r 8 2r≥ C r+1 8 2 r+1

，
解得：5≤r≤6，∴系数最大的项T₇=1792x^-11，系数最小的项T6=-1792x-

17

2

．

点评：本题考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求出系数绝对值最大的项，
是解题的关键．