Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）展开式中二项式系数和为256．
（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由．
（2）求展开式中系数最小的项．

Answer 1

分析：（1）先根据所给的二项式系数之和为256，得到n的值，写出二项式的通项，因为要求常数项，所以使得通项式的x的指数是0，然后看是否存在r满足条件，有理项的求解使得通项式的x的指数是整数即可；
（2）先求展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值，然后假设第r+1项的系数绝对值最大，建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）由题意，二项式系数和为2ⁿ=256，解得n=8，
通项Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r•(-

2

x2

)r=

C

r 8

(-2)rx

8-5r

2

，
若T_r+1为常数项，当且仅当

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，这是不可能的，
∴展开式中不含常数项．
若T_r+1为有理项，当且仅当

8-5r

2

∈Z，且0≤r≤8，即r=0，2，4，6，8，
∴展开式中共有5个有理项；
（2）设展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为

C

r-1 8

•2r-1，

C

r 8

•2r，

C

r+1 8

•

2

r+1

，
若第r+1项的系数绝对值最大，则

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，
又∵r∈Z，
∴r=5或6．
∵r=5时，第6项的系数为负，r=6时，第7项的系数为正，
∴系数最小的项为T6=

C

5 8

(-2)5x-

17

2

=-1792•x-

17

2

．

点评：本题是一个二项展开式的特定项的求法，还考查二项式系数之和的特点，解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．