Question

如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG:GD=n．

(1)证明：E、F、G、H四点共面；

(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形?

(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明EG=FH．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AE：EB=AH：HD，∴EH∥BD． ∵CF：FB=CG：GD，∴FG∥BD．∴EH∥FG． ∴E、F、G、H四点共面． (2)当且仅当EHFG时，四边形EFGH为平行四边形． ∵==,∴EH=BD． 同理FD=BD．由EH=FG得m=n． 故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形． (3)当m=n时，AE：EB=CF：FB，∴EF∥AC． 又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC与BD所成的角， ∴∠FEH=90°，从而EFGH为矩形．∴EG=FH． 点评：空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时，该平行四边形为正方形．