Question

【题目】已知函数在点处的切线方程为， （其中为常数）.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，求证： （其中e为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)详见解析.

【解析】试题分析:（1）对函数求导根据点斜式求出切线方程;（2）构造新函数，则有在上恒成立；对函数求导分类讨论函数的单调性,求出参数范围; （3）令，求导可得取得最小值；构造， 取得最小值；当时， ，得证.

试题解析:（）， ，得；又由，得，

所以．

（2）对任意，不等式恒成立；

等价于对任意，不等式恒成立；

令，则有在上恒成立；

；

若，当时， ，所以在上单调递增，

所以，当时， ；

若，当时， ，当时， ，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时， ，与题意矛盾；

综上，实数的取值范围为．

（3）令，

；令，解得；

令，解得；∴在上单调递减；在上单调递增；

故当时， 取得最小值；

，

，令，解得；令，解得；

所以在上单调递减；在上单调递增；

故当时， 取得最小值；

所以，当时， ，

即，

当且仅当时，等号成立．