Question

【题目】如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，，，与相交于，且，矩形底面，为线段上一动点，满足.

（Ⅰ）若平面，求实数的值；

（Ⅱ）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）12.

【解析】试题分析: （Ⅰ）由题意先得，可得，由线面平行性质定理可得四边形为平行四边形，即，故可得的值；（Ⅱ）运用面面垂直性质定理可得面，故而可得面,以， ， 所在直线为， ， 轴建立空间直角坐标系，由三角形全等得的长度，设求出平面的法向量和平面的法向量，根据二面角的余弦值可得的值，将多面体分割为两个四棱锥，求其体积即可.

试题解析：（Ⅰ）连接，在梯形中，，

∴，∴.

∵平面，平面平面，∴.

又，∴四边形为平行四边形，∴.

∴，∴.

（Ⅱ）∵梯形底面，平面平面，

∴底面.∵，∴底面.

以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

设，易证，所以，

所以，同理，

所以，，，

，.

，.

设平面的法向量为，

平面的法向量为.

则，令，

得.

，令得.

所以，解得：.

所以多面体的体积为，

.