Question

【题目】已知数列和满足： .

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若.

求证：数列为等差数列；

记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ， ．

【解析】试题分析:（1）当时，有，得，

构造数列是首项为，公比为的等比数列；所以，即，所以（）;（2）①当时，有（），按照n被4整除的余数分四类分别证明数列为等差数列;②由①知， ，则（）；由，得；按照, 和时分别讨论,求出正整数和.

试题解析:（1）当时，有，得，

令， ，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列；所以，

即，所以（）．

（2）①当时，有（），

（）时， ，所以为等差数列；

（）；

（）时， ，所以为等差数列；

（）；

（）时， ，所以为等差数列；

（）；

（）时， ，所以为等差数列；

（）；

所以（），，所以数列为等差数列．

②由①知， ，则（）；

由，得；

当时， ；

当时，则，因为，所以；

从而，因为和为正整数，所以不存在正整数；

当时，则，因为为正整数，所以，

从而，即，

因为为正整数，所以或；

当时， ， 不是正整数；当时， ， 不是正整数；

综上，满足题意的所有正整数和分别为， ．