Question

12．某卫视的大型娱乐节目现场，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为$\frac{1}{3}$，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”．
（I）求某节目的投票结果获“通过”的概率；
（Ⅱ）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“某节目的投票结果获“通过”为事件A，则事件A包含该节目获2张“通过票”或该节目获3张“通过票”，由甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为$\frac{1}{3}$，
且三人投票相互没有影响，能求出某节目的投票结果是最终获“通过”的概率．
（Ⅱ）所含“通过”和“待定”票票数之和X的所有取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设“某节目的投票结果获“通过”为事件A，
则事件A包含该节目获2张“通过票”或该节目获3张“通过票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为$\frac{1}{3}$，
且三人投票相互没有影响，
∴某节目的投票结果是最终获“通过”的概率为：$P（A）=C_3^2{（{\frac{1}{3}}）^2}（{\frac{2}{3}}）+C_3^3{（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{7}{27}$．…（4分）
（Ⅱ）所含“通过”和“待定”票票数之和X的所有取值为0，1，2，3，
$P（{X=0}）=C_3^0{（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（{X=1}）=C_3^1（{\frac{2}{3}}）{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{6}{27}$，
$P（{x=2}）=C_3^2{（{\frac{2}{3}}）^2}（{\frac{1}{3}}）=\frac{12}{27}$，
$P（{X=3}）=C_3^3{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{8}{27}$，…（8分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

$EX=0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}=2$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．