Question

4．我校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次答题机会．选手累计答对3题或答错三题终止初赛的比赛．答对三题直接进入决赛，答错3题则被淘汰．已知选手甲连续两次答错的概率为$\frac{1}{9}$（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响）
（1）求选手甲回答一个问题的正确率；
（2）求选手甲进入决赛的概率；
（3）设选手甲在初赛中答题个数为X，试写出X的分布列，并求甲在初赛中平均答题个数．

Answer 1

分析 （1）设选手甲任答一题正确的概率为p，根据答题连续两次答错的概率列出关于P的方程，得到甲答对题目的概率；
（2）选手甲能够进入决赛包括三种种情况，这三种情况是互斥的，由互斥事件的概率公式计算得到答案；
（3）由题意知X可取3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量的概率，写出分布列做出期望．

解答 解：（1）设甲答对一个问题的正确为P₁，则（1-P₁）²=$\frac{1}{9}$，解得P₁=$\frac{2}{3}$．
（2）甲答完三题进入决赛的概率为${（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
甲答完四题进入决赛的概率为$C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}•（\frac{1}{3}）•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$，
甲答完五题进入决赛的概率为$C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}•{（\frac{1}{3}）^2}•（\frac{2}{3}）=\frac{16}{81}$，
∴甲可以进入决定的概率为P=$\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}=\frac{64}{81}$．
（3）X的分布列为：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

∴EX=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

点评 本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．