Question

19．定义max$\left\{{a，b}\right\}=\left\{\begin{array}{l}a（a≥b）\\ b（a＜b）\end{array}$，已知实数x，y满足x²+y²≤1，设z=max{x+y，2x-y}，则z的取值范围是[$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 直线为 AB 将约束条件x²+y²≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z₁=x+y，点（x，y）在在半圆ACB上及其内部；令z₂=2x-y，点（x，y）在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．

解答 解：（x+y）-（2x-y）=-x+2y，设方程-x+2y=0对应的直线为AB，∴Z=$\left\{\begin{array}{l}{x+y，（-x+2y≥0）}\\{2x-y，（-x+2y＜0）}\end{array}\right.$，
直线为 AB 将约束条件x²+y²≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z₁=x+y，点（x，y）在半圆ACB上及其内部，
如图求得-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$≤z₁≤$\sqrt{2}$；

令z₂=2x-y，点（x，y）在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$≤z₂≤$\sqrt{5}$．
如图

综上可知，z的取值范围为[-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]；
故答案为：[-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]

点评 本题考查不等关系与不等式，简单的线性规划问题的解法，体现了数形结合的数学思想．画出图形，是解题的关键．