Question

17．设命题p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个根，不等式|m-4|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．

解答 解：由题设x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{a^2}+8}$．
当a∈[1，2]时，$\sqrt{{a^2}+8}$的最小值为3．
要使|m-4|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立，
只需||m-4|≤3，即1≤m≤7．--------------（3分）
由已知，得$f（x）=3{x^2}+2mx+m+\frac{4}{3}$的判别式：
$△=4{m^2}-12（{m+\frac{4}{3}}）=4{m^2}-12m-16＞0$，
得m＜-1或m＞4．----------------（6分）
综上，要使“P∧Q”为真命题，
只需P真Q真，即$\left\{\begin{array}{l}1≤m≤7\\ m＜-1或m＞4\end{array}\right.$，-----------------（8分）
解得实数m的取值范围是：（4，7]--------------------（10分）

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及二次函数的性质，是一道中档题．