Question

已知函数
（1）试证明f（x）在[2，+∞）上为增函数；
（2）当x∈[3，5]时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

（1）证明：在[2，+∞）上任意取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴=．
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞4x₁x₂-4＞0，
∴，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[2，+∞）上为增函数．
（2）∵f（x）在[2，+∞）上为增函数，故f（x）在x=3处取得最小值，
f（x）在x=5处取得最大值．
分析：（1）在[2，+∞）上任意取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＜0，从而证得f（x）在[2，+∞）
上为增函数．
（2）由于f（x）在[2，+∞）上为增函数，由此求得当x∈[3，5]时，函数f（x）的最值．
点评：本题主要考察函数的单调性的定义和证明方法，利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题．