题目内容

若数列{a_n}的首项为a₁=1，且对任意n∈N*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+cⁿ=0的两根，其中0＜|c|＜1，当 $数学公式$ （b₁+b₂+…+b_n）≤3，求c的取值范围．

解：∵对任意n∈N*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+cⁿ=0的两根，
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=cⁿ
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c．
∵a₁=1，∴a₁•a₂=a₂=c．
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，构成首项为1，公比为c的等比数列，
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，构成首项为c，公比为c的等比数列．
又∵任意n∈N*，a_n+a_n+1=b_n恒成立．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c．又b₁=a₁+a₂=1+c，b₂=a₂+a₃=2c，
∴b₁，b₃，b₅，…，b_2n-1，构成首项为1+c，公比为c的等比数列，
b₂，b₄，b₆，…，b_2n，构成首项为2c，公比为c的等比数列，
∵0＜|c|＜1， $\text{[math]}$ cⁿ=0
∴ $\text{[math]}$ （b₁+b₂+b₃+…+b_n）= $\text{[math]}$ （b₁+b₃+b₅+…）+ $\text{[math]}$ （b₂+b₄+…）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤3．
解得c≤ $\text{[math]}$ 或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤ $\text{[math]}$ 或-1＜c＜0．
故c的取值范围是（-1，0）∪（0， $\text{[math]}$ ]．
分析：由题意再根据韦达定理列出a_n，a_n+1和b_n三者的关系式，再进行变形求出数列{a_n}和{b_n}的特点，对数列分组求和，再由0＜|c|＜1求极限不等式，最后求出c的值．
点评：本题综合性强，涉及的知识面广．本题的关键在于根据韦达定理求出数列{a_n}和{b_n}的特点，进行数列分组求和，将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式，显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系．

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对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一等差数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若数列{a_n}通项公式an=

n(n∈N*)，求{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，①证明：数列{

}为等差数列；②求{a_n}的前n项和S_n．

对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；类似的，规定{△²a_n}为数列{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=3n²-5n（n∈N*），试证明{△a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），令b_n=

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记c_n=

(n≥2，n∈N*

，求证：c₁+

已知函数f（x）=

（x＜-2）．
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若数列{a_n}的首项a₁=1，

=-f^-1（a_n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

，若b₁+b₂+…+b_n=2，求n的值．

（2011•东城区模拟）对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=

，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

对数列{a_n}，规定{Va_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中Va_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定{V^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中V^ka_n=V^k-1a_n+1-V^k-1a_n=V（V^K-1a_n）（规定V⁰a_n=a_n）．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判断{Va_n}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．