(2011•东城区模拟)对数列{an}.规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列.其中△an=an+1-an(n∈N*)．对正整数k.规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列.其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△(△k-1an)．(Ⅰ)若数列{an}的首项a1=1.且满足△2an-△an+1+an=-2n.求数列{an}的通项公式,中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2011•东城区模拟）对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=

+…+

，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

分析：（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，可得△a_n-a_n=2ⁿ，即可得a_n+1-2a_n=2ⁿ，构造可得

an+1

2n+1

，结合等差数列的通项可求

，进而可求
（Ⅱ）由b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，可得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n•2^n-1．由组合数的性质kC_n^k=nC_n-1^k-1，可知C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+…+C_n-1^n-1），从而可求b_n
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 T_n=

+…+

2n-1

，利用错位相减可求T_n=6-

2n-3

2n-1

＜6又T_n=

+…+

2n-1

，，利用单调性的定义可知T_n+1-T_n＞0，{T_n}是递增数列，且T₆=6-

＞5，从而可求m

解答：解：（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

，---------------（2分）
∴数列{

}是首项为

，公差为

的等差数列，
∴

+(n-1)×

，
∴a_n=n•2^n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，
∴b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n•2^n-1．
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，

∴

+…+(n-1)

n-1