Question

已知函数f（x）=

1

x2-4

（x＜-2）．
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若数列{a_n}的首项a₁=1，

1

an+1

=-f^-1（a_n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

anan+1

an+an+1

，若b₁+b₂+…+b_n=2，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用解方程的方法，可求反函数；
（2）确定{

1

an2

}是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求得数列的通项；
（3）把（2）中求得a_n代入b_n中，进而用叠加法求得数列的前n项的和．

解答：解：（1）令y=

1

x2-4

（x＜-2），则x=-

4y2+1

y

∴f^-1（x）=-

y2+4

y

；
（2）

1

an+1

=-f^-1（a_n）=

4an2+1

an

，∴

1

an+12

=

1

an2

+4
∵a₁=1，∴

1

a12

=1
∴{

1

an2

}是以1为首项，4为公差的等差数列
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∵a_n＞0，∴an=

1

4n-3

；
（3）b_n=

anan+1

an+an+1

=

4n+1 - 4n-3

4

∴b₁+b₂+…+b_n=

5 -1

4

+

9 - 5

4

+…+

4n+1 - 4n-3

4

=

4n+1 -1

4

令

4n+1 -1

4

=2，可得n=20．

点评：本题主要考查了数列等差关系的确定和通项公式．解题的基础是对数列公式的熟练掌握．