Question

设函数其中，
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明不等式：.
（3）求证：ln(n+1)> +++L（）．

Answer 1

（1）函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是.
（2）略    （3）略

本试题主要是考查了单调性的运用，以及运用构造函数的思想，证明不等式的问题。
解：由已知得函数的定义域为，
又  ———2分
由解得                                                    
当变化时， 的变化情况如下表：

		0	+
	单调递减	极小值	单调递增

由上表可知，当时，函数在内单调递减；当时，函数在内单调递增。所以，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是.   ———4分                                   
（2）
对求导，得：     ——6分
当时，所以在内是增函数，又因为在上连续，所以 在内是增函数
当时，即  —8分
同理可证     ——10分
(3)由<ln(x+1)知ln(+1)>, ln(+1)>,L，ln(1+1)> ——12分
所以ln(+1)+ln(+1)+L+ln(1+1)> ++L+
所以ln(n+1)> +++L（）