Question

20．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且角A满足f（A）=$\sqrt{3}$+1，若a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递减区间．
（2）代入f（A）=$\sqrt{3}$+1，结合A的范围求解A的值，分别在三角形ABC、三角形ADB、三角形ADC中运用余弦定理结合已知条件求得AB•AC的值，代入三角形的面积公式得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）
=2$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$+sin（$\frac{π}{2}$+2x）
=sin（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$+2x）+$\sqrt{3}$
=2sin（$\frac{π}{2}$+2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）由f（A）=$\sqrt{3}$+1，A∈（0，π），得$\sqrt{3}$+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$+1，
可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
如图，在△ABC中，设BC中点为D，∠ADB=α，则∠ADC=π-α，
则BC²=AC²+AB²-2AB•ACcos$\frac{π}{3}$，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosα，
AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos（π-α），
又AD=3，BD=DC=$\frac{3}{2}$，
联立以上各式求得：AB•AC=$\frac{27}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{27}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．