Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
（1）若$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$，求k的值，并判断$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{d}$是否同向；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，当k为何值时，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$．

Answer 1

分析 （1）由条件，若$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$，则得到$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{d}$，从而可得到$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，这样根据平面向量基本定理即可得出k，λ的值，从而可判断$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$是否同向；
（2）可假设$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，从而有$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，这样根据条件$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$及$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为60°即可求出k的值．

解答 解：（1）根据条件$\overrightarrow{d}≠\overrightarrow{0}$；
∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$；
∴存在实数λ，使$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{d}$；
即$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=λ}\\{1=-λ}\end{array}\right.$；
∴k=-1，λ=-1；
∴$\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}$不同向；
（2）根据条件，若$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
则：$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}+（1-k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$（k-1）{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1-k}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}=0$；
${\overrightarrow{a}}^{2}≠0$；
∴$（k-1）-\frac{1-k}{2}=0$；
∴k=1；
即k=1时，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$．

点评 考查共线向量基本定理，数乘的几何意义，平面向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式．