Question

13．已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1，设（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-8≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意求出使二次函数在区间[1，+∞）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答．

解答 解：关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{2b}{a}≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x≥2y}\end{array}\right.$，满足条件的如图阴影部分，直线x+y-8=0与x+2y=0的交点为（$\frac{16}{3}，\frac{8}{3}$），
已知区域面积为$\frac{1}{2}×8×8$=32，阴影部分面积为$\frac{1}{2}×8×\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$，
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是$\frac{\frac{32}{3}}{32}=\frac{1}{3}$；
故选C．

点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出区域面积，由公式解答．