Question

【题目】如图，三棱柱中，，，．

（1）证明：；

（2）若，，求三棱柱的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）取中点，连接，可证面，即可证明；（2）在三角形中，由勾股定理得到，再根据，得到为三棱柱的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．

试题解析：（1）证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．

因为CA=CB，所以OCAB．

由于AB=AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1AB．

因为OCOA1＝O，所以AB平面OA1C．

又A1C平面OA1C，故ABA1C．

（2）由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC=OA1=．

又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA12，故OA1OC．

因为OCAB＝O，

所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝，

故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3．