Question

10．已知点A（0，5）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{98}$+$\frac{{y}^{2}}{49}$=1内一定点，P是这个椭圆上的点，要使|PA|的值最大，则P的坐标应是$（±4\sqrt{3}，-5）$，|PA|的最大值等于2$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 设P$（7\sqrt{2}cosθ，7sinθ）$（θ∈[0，2π））．可得|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosθ）^{2}+（7sinθ-5）^{2}}$=$\sqrt{-49（sinθ+\frac{5}{7}）^{2}+148}$，利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：设P$（7\sqrt{2}cosθ，7sinθ）$（θ∈[0，2π））．
则|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosθ）^{2}+（7sinθ-5）^{2}}$=$\sqrt{-49si{n}^{2}θ-70sinθ+123}$=$\sqrt{-49（sinθ+\frac{5}{7}）^{2}+148}$≤2$\sqrt{37}$，当sinθ=-$\frac{5}{7}$时取等号，
∴$cosθ=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
∴P$（±4\sqrt{3}，-5）$．
故答案分别为：$（±4\sqrt{3}，-5）$；2$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及参数方程、二次函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．