Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+2（n∈N^*），则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 通过a₁=1、a_n+1=a_n+2可知a_n=2n-1，裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n+2（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴所求值为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{n-1}{2n-1}$，
故答案为：$\frac{n-1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．