Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC；D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.

（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为.

Answer 1

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

依题意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故当时，直线与平面所成的角为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交时，直线与平面所成的角为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

即．

故交时，

即直线与平面所成角为