Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4．
（1）求证：平面VBA⊥平面VBC；
（2）求二面角A-VC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先利用线面垂直的判定，证明BC⊥平面VBA，再利用面面垂直的判定，证明平面VBA⊥平面VBC； 
（2）过点B作MB⊥VC于M，过点A作AN⊥VC于N，过点M作MD⊥VC交CA于D，则MD∥NA，∠BMD即为所求，利用余弦定理，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC                       （1分）
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AC                                      （2分）
∵VA∩AC=A
∴BC⊥平面VBA                                            （4分）
∵BC?平面VBC
∴平面VBA⊥平面VBC；                              （5分）
（2）解：过点B作MB⊥VC于M，过点A作AN⊥VC于N，过点M作MD⊥VC交CA于D，则MD∥NA，∠BMD即为所求（7分）
∵∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4
∴VA=VB=2
∴AB=2

3

                     （8分）
∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥AC，VA⊥AB
∴VC=2

5

，VB=4             （9分）
∵2

5

BM=8，2

5

NA=8，∴BM=AN=

4 5

5

                     （10分）
∴CM=VN=

4-( 4 5 5 )2

=

2 5

5

∴CN=2

5

-

2 5

5

=

8 5

5

       （11分）
∵

MD

NA

=

CM

CN

=

CD

CA

=

1

4

∴MD=

5

5

，CD=1            （12分）
在△ABC中，∵AC=2BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°
∴BD=

4+1-2×2×1×cos60°

=

3

                       （13分）
在△BMD中，cos∠BMD=

16 5 + 1 5 -3

2× 4 5 5 × 5 5

=

1

4

所以所求二面角的平面角的余弦值是

1

4

                         （14分）

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．