Question

设a₁=2，a₂=4，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：变形可得数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，可得a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2，累加可得．

解答：解：∵b_n+1=2b_n+2，∴b_n+1+2=2（b_n+2），即

bn+1+2

bn+2

=2，
又b₁+2=a₂-a₁=4，所以数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以b_n+2=4×2^n-1，解得b_n=2ⁿ⁺¹-2，即a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2，
故可得a₂-a₁=2²-2，a₃-a₂=2³-2，…，a_n-a_n-1=2ⁿ-2，
累加可得a_n-a₁=（2²+2³+…+2ⁿ）-2（n-1）
=

2(1-2n-1)

2

-2n+2=2ⁿ-2-2n+2=2ⁿ-2n

点评：本题考查等比关系的确定，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．