Question

设a₁=2，a₂=4，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求证：数列{b_n+2}是等比数列（要指出首项与公比），
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）数列{a_n+1}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）把数列的递推式b_n+1=2b_n+2变形，得到数列{b_n+2}是等比数列；
（2）由等比数列的通项公式求出b_n的通项公式，代入b_n=a_n+1-a_n后利用累加法求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用分组求和求数列{a_n+1}的前n项和为T_n．

解答：解：（1）由b_n+1=2b_n+2，得b_n+1+2=2（b_n+2），
∵b₁+2=a₂-a₁+2=4-2+2=4≠0，
∴

bn+1+2

bn+2

=2，
∴数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列；
（2）由列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴bn+2=4×2n-1=2n+1，
∴bn=2n+1-2．
∴an-an-1=2n-2  (n≥2)．
令n=1，2，3，…，（n-1），叠加得
an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2=2n+1-2n；
（3）数列{a_n+1}的前n项和T_n=a₁+a₂+…+a_n
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2（1+2+3+…+n）
=

4(1-2n)

1-2

-2×

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺²-n²-4．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和和等比数列的前n项和公式，是中档题．