Question

设a₁=2，a₂=4，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2．
（1）求b₁、b₂；
（2）求证数列{b_n+2}是等比数列（要指出首项与公比）；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用已知递推式即可得出；
（2）利用b_n+1=2b_n+2，变形为b_n+2+2=2（b_n+2）．即可得出；
（3）利用（2）及其“累加求和”即可得出．

解答：（1）解：b₁=a₂-a₁=4-2=2，b₂=2b₁+2=2×2+2=6．
（2）证明：∵b_n+1=2b_n+2，∴b_n+2+2=2（b_n+2）．
∴数列{b_n+2}是以b₁+2=4为首项，2为公比的等比数列．
（3）由（2）可得：bn+2=4×2n-1=2ⁿ⁺¹．
∴bn=2n+1-2．
∴an-an-1=2n-2．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2ⁿ-2）+（2^n-1-2）+…+（2²-2）+2
=2ⁿ+2^n-1+…+2²+2-2（n-1）
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2
=2ⁿ⁺¹-2n．

点评：变形利用等比数列的通项公式和掌握“累加求和”的方法是解题的关键．