题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点F1（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求
PM
AP
的取值范围；
（3）圆x2+（y-t）2=1上任一点为D，曲线C上任一点为E，如果线段DE长的最大值为2
5
+1，求t的值．
（1）由题意得，c=2，
a2
c
=8得，a2=16，b2=12，
∴所求椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1．…（5分）
（2）设P点横坐标为x0，则
PM
AP
=
8-x0
x0+4
=
12
x0+4
-1，…（7分）
∵-4＜x0≤4，∴
PM
AP
=
8-x0
x0+4
=
12
x0+4
-1≥
1
2
．
∴
PM
AP
的取值范围是[
1
2
，+∞)…（10分）
（3）设圆的圆心为O，因圆的半径为1，因此，OE的最大值为2
5
，
设E（x0，y0），则
x02
16
+
y02
12
=1，即
x20
=16(1-
y02
12
)
则OE=
x20
+(y0-t)2
=
16-
4
3
y02+y02-2ty0+t2
=
-
1
3
y02-2ty0+16+t2
=
-
1
3
(y0+3t)2+16+4t2
…（12分）
∵-2
3
≤y0≤2
3

∴当-2
3
≤-3t≤2
3
时，则y0=-3t时，有OEmax=
16+4t2
=2
5
，得t=±1，满足条件；…（14分）
当-3t＞2
3
时，则y0=2
3
时，有OEmax=
-
1
3
(2
3
+3t)2+16+4t2
=2
5
，得，t=2
3
±2
5
，但均不满足条件，所以无解；
当-3t＜-2
3
时，同理可得无解．…（16分）
所以，t=±1．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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