题目内容

一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q两点,直线l与y轴交于点R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直线l和椭圆C的方程.
分析:由e=
2
2
,知
c
a
=
2
2
,a2=2b2,则椭圆方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,设l方程为:y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
x2
2b2
+
y2
b2
=1
y=x+m
,得3x2+4mx+2m2-2b2=0,故有△=16m2-4×3(2m2-2b2)=8(-m2+3b2)>0.由此入手能求出直线l方程和椭圆C的方程.
解答:解:∵e=
2
2
,∴
c
a
=
2
2
,a2=2b2,则椭圆方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1

设l方程为:y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
x2
2b2
+
y2
b2
=1
y=x+m
,去y得3x2+4mx+2m2-2b2=0,
故有△=16m2-4×3(2m2-2b2)=8(-m2+3b2)>0
∴3b2>m2(*)
x1+x2=-
4
3
m(1)
x1x2=
2
3
(m2-b2)(2)
OP
OQ
=-3得x1x2+y1y2=-3,
而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=-3,
4
3
(m2-b2)-
4
3
m2+m2=-3,∴3m2-4b2=-9(3)
又R(0,m),
PR
=3
RQ
,(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m)
从而-x1=3x2(4)
由(1)(2)(4)得3m2=b2(5)
由(3)(5)解得b2=3,m=±1适合(*),
∴所求直线l方程为y=x+1或y=x-1;椭圆C的方程为
x2
6
+
y2
3
=1.
点评:本题考查直线和椭圆的位置关系的综合运用,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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