Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（，t为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直角坐标系下直线与曲线的普通方程；

（2）设直线与曲线交于点、（二者可重合），交轴于，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合可将曲线的极坐标方程化为普通方程；

（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，由结合韦达定理求得实数的值，可判断出直线与曲线相切，由此可得出的大小.

（1）由消去参数得直线的普通方程为.

由得，因为，

曲线的直角坐标方程为，即；

（2）设点、的对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得①，

，解得或.

当时，方程①为，，此时直线与曲线相切；

当时，方程①为，，此时直线与曲线相切.

因此，.