Question

已知向量a＝(x²，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：依定义f(x)=x2(1－x)＋t(x＋1)=－x3＋x2＋tx＋t，则(x)=－3x2＋2x＋t． 　　由函数f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有．(x)≥0． 　　由(x)≥0得t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g(x)=3x2－2x． 　　由于g(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=． 　　故要使t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立，则须t≥g(－1)，即t≥5． 　　而当t≥5时，(x)在(－1，1)上满足(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函数． 　　故t的取值范围是t≥5． 　　分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力． 　　点评：利用向量的数量积可以把问题转化为代数表达形式，从而运用代数方法——高次求导法、二次判别式法、配方法、均值不等式法求解．