Question

已知向量a＝(x²，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

探究：解法一：依定义f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t， 　　则(x)＝－3x2＋2x＋t． 　　若f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设(x)≥0． 　　∴(x)≥0t≥3x2－2x，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g(x)＝3x2－2x， 　　由于g(x)的图象是对称轴为x＝， 　　开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立t≥g(－1)，即t≥5． 　　而当t≥5时，(x)在(－1，1)上满足(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函数． 　　故t的取值范围是t≥5． 　　解法二：依定义f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t， 　　(x)＝－3x2＋2x＋t． 　　若f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设(x)≥0． 　　∴(x)的图象是开口向下的抛物线， 　　∴当且仅当(1)＝t－1≥0，且(－1)＝t－5≥0时 　　(x)在(－1，1)上满足(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函数． 　　故t的取值范围是t≥5． 　　规律总结：①这是导函数增减性的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断增减性，反之也可以根据导函数的增减性，求有关的参变量． 　　②对于含有字母系数的问题，根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一．函数的导数与函数单调性的关系，为我们研究函数的单调性提供了有力的工具，在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯．