题目内容
如图，已知直三棱柱
中，
,
是棱
上的动点，
是
的中点，
，
.
（1）当是棱的中点时，求证：
平面
；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角
的大小是
？若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由.
【答案】
见解析
【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线面的平行和二面角的求解运算，能合理的建立直角坐标系，是解决第二问的关键所在。
（1）证法1 取
中点
-----------（1分）因
且
，
且
，故
且
， （3分）
因而
且
因此
平面
。---------------（2分）
证法2
以
为坐标原点，射线
为
轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
,
,
，
，
，
.
设
，平面的法向量为
，
依
，
且
，
.
可得
取
，得
------------（4分）
当
是棱
的中点时，
.
则
及
得 
故平面.---------------------------------------------------（2分）
（2）因平面
的法向量为
， -------------------------（2分）
又二面角
的大小是
，故
即
解得
.
故在棱上存在点，使得二面角的大小是.此时
.（4分）
练习册系列答案
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中，
为等腰直角三角形，
，且
，
分别为
的中点。
//平面
；
平面
；
中，
， 
，
分别是棱
，
的中点．
平面
；
平面
；
中，
为等腰直角三角形，
，且
，
分别为
的中点。
//平面
；
平面
；
中，
， 
，
分别是棱
，
的中点．
平面
；
平面
；