Question

10．若函数f（x）=cos2x+2asinx+3在区间（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数，则a的取值范围是（-∞，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦化余弦为正弦，然后令sinx=t换元，得到y=-2t²+2at+4在区间（$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$）上是减函数，再结合对称轴的范围得答案．

解答 解：f（x）=cos2x+2asinx+3=-2sin²x+2asinx+4，
令sinx=t，则y=-2t²+2at+4，
∵x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），∴t∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$），
即y=-2t²+2at+4在区间（$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$）上是减函数，
又对称轴为t=$\frac{a}{2}$，∴$\frac{a}{2}≤\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a∈（-∞，$\sqrt{3}$]．
故答案为：（-∞，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查与三角函数有关的复合函数的单调性，是中档题．