Question

【题目】已知函数

(1)判断函数在上的单调性

(2)若恒成立，求整数的最大值

(3)求证：

Answer 1

【答案】（1）函数在上为减函数 （2）整数的最大值为3 （3）见解析

【解析】

（1）由导数的应用，结合，得函数在上为减函数；

（2）原命题可转化为即恒成立，即，再构造函数，利用导数求其最小值即可；

（3）由（2）知，，，令，再求和即可证明不等式，得解.

解：（1）因为，

所以，，

又因为 ，所以，，

所以 ，

即函数在上为减函数；

（2）由恒成立，

即恒成立，

即，

设，

所以，，

令，

则，

即在为增函数，

又 ，，

即存在唯一的实数根，满足，且，，

当时，，，当时，，，

即函数在为减函数，在为增函数，

则，

故整数的最大值为3；

（3）由（2）知，，，

令，

则 ，

则=，

故.