Question

（本小题14分）已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.

Answer 1

（1）（），（2），（3）点在曲线上

【解析】

试题分析：首先设动点，利用直接法依据斜率之积等于，求出点的轨迹方程，注意这个条件即可；第二步设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，用点斜式写出的方程，与联立得出的坐标，得出中点的坐标，最后写出斜率之积求出范围即可；第三步由于斜率之积为，所以交点在曲线C上.

试题解析：（1）设动点，则（且）

所以曲线的方程为（）.

（2）设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，令，则得，直线的方程为，令，则得，∴线段的中点，∴

故∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

（3）由（2）得，，，

∴ ，

∴ ∴ 点在曲线上.

考点：1.求轨迹方程；2.两条直线的交点；3.取值范围问题；