题目内容

设Sn=(n∈N+),求证:对于正整数m,n且m＞n,都有|Sm-Sn|＜.

证明:|Sm-Sn|=||

≤||+||+…+||.

∵|sin(n+1)|≤1,|sin(n+2)|≤1,…,|sinm|≤1,

∴上式≤||+||+…+||

=++…+

=［1-()m-n］＜.

∴原不等式成立.

练习册系列答案
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设数列{
n
(n+1)！
}前n项和为Sn，则S1=
1
2
1
2
，S2=
5
6
5
6
，S3=
23
24
23
24
，S4=
119
120
119
120
，并由此猜想出Sn=
(n+1)！-1
(n+1)！
(n+1)！-1
(n+1)！
．
已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．
已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
3
anan+1
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
设数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有bn＞0，且Sn2=b13+b23+…bn3；数列{an}满足a1=1，an+1=（1+cos2
bnπ
2
）an+sin2
bnπ
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求b1，b2的值及数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求证：
a2
a1
+
a4
a3
+
a6
a5
…+
a2n
a2n-1
＜n+
19
12
对一切n∈N+成立．
（2013•闸北区一模）若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{cn}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；
（2）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{an}的前n项和为Sn，若S63＞2012，求a的取值范围．

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