Question

数列{2ⁿ-1}的前n项1，3，7，…，2ⁿ-1组成集合，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．则当n=3时，S₃=    ；试写出S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据S_n=T₁+T₂+…+T_n的意义即可求得n=3时S₃．根据S₁，S₂，S₃，猜想-1，然后利用数学归纳法证明即可．
解答：解：当n=3时，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63；
由S₁=1=2¹-1=-1，S₂=7=2³-1=-1，S₃=63=2⁶-1=-1，猜想-1，下面证明：
（1）易知n=1时成立；
（2）假设n=k时-1，
则n=k+1时，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]（其中T_i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T_k），
=（）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k
=2^k+1（-1）+（2^k+1-1）
=-1=-1，即n=k时-1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N^*-1成立．
所以-1．
故答案为：63；-1．
点评：本题考查等差、等比数列的综合，考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大，能力要求较高．